1.
若t<0,则x<0,x+t<0
f(x+t)=(x+t)²
2f(x)=2x²
令g(x)=f(x+t)-2f(x)
g(x)=-x²+2tx+t²
g(x)以x=t为对称轴,当x=
t≥√2时,g(x)>=0,f(x+t)≥2f(x) 实数t 的取值范围是t≥√2
若t≥0,x>=0,取x=t
f(x+t)=f(2x)=-f(-2x)=-4x²,2f(x)=-2x²
f(x+t)<2f(x),与题设矛盾
2.
设椭圆的标准方程为x²/a²+y²/b²=1,
利用三角代换.
在第一象限内取点(x,y),设x=acosθ,y=bsinθ，(0<θ<π/2)
则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，
内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab，
由已知得：3b²≤2ab≤4b²，
3b≤2a≤4b，
平方得：9b²≤4a²≤16b²，
9(a²-c²) ≤4a²≤16(a²-c²)，
5a²≤9c²且12 a²≥16 c²，
∴离心率e=c/a∈[√5/3, √3/2].
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